算法的时间复杂度与空间复杂度分析

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我们都知道，数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。所以，执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢？这里就要用到我们今天要讲的内容：时间、空间复杂度分析。

大 O 复杂度表示法

所有代码的执行时间 T(n)与每行代码的执行次数 n 成正比

T(n) = O(fn)

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

  1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
  2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
  3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

几种常见时间复杂度实例分析

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常量阶 O(1)
一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是 Ο(1)。

int i = 8;
int j = 6;
int sum = i + j;

对数阶 O(logn)

i=1;
while (i <= n) {
    i = i * 3;
}

x=log3n，这段代码的时间复杂度就是 O(log3n)。
在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))
所以，这段代码的时间复杂度就是 O(logn)

线性阶 O(n)

int cal(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i <= n; ++i) {
    sum = sum + i;
  }
  return sum;
}

4,5 行代码都执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)

线性对数阶 O(nlogn)
线性阶循环中嵌套对数阶循环

int cal(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i <= n; ++i) {
    sum = sum * i;
  }
  return sum;
}

平方阶 O(n^2) 立方阶 O(n^3) K 次方阶 O(n^k)

int cal(int n) {
  int ret = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    ret = ret + f(i);
  }
}

int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  }
  return sum;
}

内层执行了 n 次，外层也执行了 n 次，利用乘法法则 这里的时间复杂度是T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)

指数阶 O(2^n),阶乘阶 O(n!)
这俩都是非多项式时间复杂度
当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法

空间复杂度分析

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2)，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

最好、最坏情况时间复杂度

// n表示数组array的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。
最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。

平均情况时间复杂度

平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。